乘幂法计算主特征值

任意选定一个初始向量，然后用它不断地右乘要求主特征值的矩阵，

直到当前一步的向量与上一步的向量的各分量比值趋于一个确定的数，

这个数即为矩阵的主特征值，

此时的向量就是对应的特征向量。

例：已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}10& 1& -2\\ 1& 3& 1\\ 6& 1& -3\end{array}\right]$，求它的主特征值。

选定初始向量 $u=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$，用它右乘矩阵 $A$：

$$\stackrel{A}{\left[\begin{array}{ccc}10& 1& -2\\ 1& 3& 1\\ 6& 1& -3\end{array}\right]}\stackrel{u}{\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]}=\left[\begin{array}{c}9\\ 5\\ 4\end{array}\right]$$

再用所得的向量右乘矩阵 $A$：

$$A\left[\begin{array}{c}9\\ 5\\ 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}87\\ 28\\ 47\end{array}\right]$$

重复该操作：

$$A\left[\begin{array}{c}87\\ 28\\ 47\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}804\\ 218\\ 209\end{array}\right]$$$$A\left[\begin{array}{c}804\\ 218\\ 209\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7440\\ 1867\\ 3815\end{array}\right]$$$$A\left[\begin{array}{c}7440\\ 1867\\ 3815\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}68637\\ 16856\\ 35062\end{array}\right]$$

此时，由于 $\frac{68637}{7440}\approx \frac{16856}{1867}\approx \frac{35062}{3815}\approx 9$，则 $9$ 近似为矩阵 $A$ 的主特征值，$\left[\begin{array}{c}68637\\ 16856\\ 35062\end{array}\right]$ 就是对应的特征向量。

实际要近似到什么程度，取决于精度要求。